typos and refactoring

lessons/20210414.tex

@@ -45,11 +45,12 @@ $\left[
 \textit{Subst. in (1):}
 
 \begin{center}
-\fcolorbox{dg}{white}{\parbox{0.3\linewidth}{%
-	$c^Tx' + (-c^T)x'' = \Min!$ \\
-	$A(x'-x'') \le b$ \\
-	$ x' \ge 0, x'' \ge 0$
-	}%
+\fcolorbox{dg}{white}{
+\begin{tabular}{rl}
+	$c^Tx' + (-c^T)x''$&$= \Min!$ \\
+	$A(x'-x'')$&$\le b$ \\
+	$x' \ge 0, x''$&$\ge 0$
+\end{tabular}
 }
 \fcolorbox{white}{white}{\parbox{0.7cm}{%
 	$\nearrow$ \\
@@ -57,21 +58,23 @@ $\left[
 	$\searrow$
 	}%
 }
-\fcolorbox{db}{white}{\parbox{0.3\linewidth}{%
-	$\tilde{c}^Tx = \Min!$\\
+\fcolorbox{db}{white}{
+\begin{tabular}{rl}
+	$\tilde{c}^Tx $&$= \Min!$\\
 	$(A,-A)\begin{pmatrix} x' \\ x'' \end{pmatrix} 
-		\le b $\\
-	$x = \begin{pmatrix} x' \\ x'' \end{pmatrix} \ge 0$
-	}%
+		$&$\le b $\\
+	$x = \begin{pmatrix} x' \\ x'' \end{pmatrix} $&$\ge 0$
+\end{tabular}
 }
 \end{center}
 $\rightsquigarrow$ Typ des neuen Programms:
 \begin{center}
-\fcolorbox{dr}{white}{\parbox{0.3\linewidth}{%	
-	{\dr\text{LOP}(2): }$~~~\tilde{c}^Tx = \Min!$\\
-	$~~~~~~~~~~~~~~~~~\tilde{A}x \le b$\\
-	$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x \ge 0 $
-	}%
+\fcolorbox{dr}{white}{
+\begin{tabular}{rl}
+	{\dr\text{LOP}(2): }$~~~\tilde{c}^Tx $&$= \Min!$\\
+	$\tilde{A}x $&$\le b$\\
+	$x $&$\ge 0 $
+\end{tabular}
 }$~~$
 \fcolorbox{db}{white}{\parbox{3.5cm}{%	
 $\text{LOP}(1) \rightarrow \text{LOP}(2)$
@@ -127,9 +130,9 @@ Bei $m$ Restriktionen würde man etwa $m$ Variablen ersetzen (Rang $m$), die res
 	$c^Tx = \Min!$\\
 	$\left.
 		\begin{array}{r@{}l}
-			Ax &\le b \\
-			-Ax &\le -b \\
-			x &\ge 0 \\
+			Ax~ &\le b \\
+			-Ax~ &\le -b \\
+			x~ &\ge 0 \\
 		\end{array}
 	\right \rbrace \text{Restriktionen}$
 	}%
@@ -138,18 +141,20 @@ Bei $m$ Restriktionen würde man etwa $m$ Variablen ersetzen (Rang $m$), die res
   \[ y = b - Ax \ge 0. \] 
 	Damit gilt
 	\begin{center}
-	\fcolorbox{dg}{white}{\parbox{0.3\linewidth}{%	
-	\text{LOP}(2): $~~~\tilde{c}^Tx = \Min!$\\
-	$~~~~~~~~~~~~~~~~~\tilde{A}x \le b$\\
-	$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x \ge 0 $
-	}%
+	\fcolorbox{dg}{white}{
+	\begin{tabular}{rl}
+	\text{LOP}(2): $~~~\tilde{c}^Tx $&$= \Min!$\\
+	$\tilde{A}x $&$\le b$\\
+	$x $&$\ge 0 $
+	\end{tabular}
 	}$~\Rightarrow$
-	\fcolorbox{dg}{white}{\parbox{0.38\linewidth}{%	
-		\text{LOP}(3): $~~~c^T + 0 \cdot y = \Min!$\\
-		$~~~~~~~~~~~~~~~~~Ax + y = b$\\
-		$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\begin{pmatrix} x \\ y 
-		\end{pmatrix} \ge 0$
-	}%
+	\fcolorbox{dg}{white}{
+	\begin{tabular}{rl}	
+		\text{LOP}(3): $~~~c^T + 0 \cdot y $&$= \Min!$\\
+		$Ax + y $&$= b$\\
+		$\begin{pmatrix} x \\ y 
+		\end{pmatrix} $&$\ge 0$
+	\end{tabular}
 	}
 	\end{center}
 	Umschreiben von LOP(3) in die Standardform: \\
@@ -158,12 +163,13 @@ Bei $m$ Restriktionen würde man etwa $m$ Variablen ersetzen (Rang $m$), die res
     \mathcal{A} &: \R^{n+m} \rightarrow \R^m
   \end{align*}
   \begin{center}
-  \fcolorbox{dr}{white}{\parbox{0.3\linewidth}{%	
+  \fcolorbox{dr}{white}{
+	\begin{tabular}{rl}	
 	\text{LOP}(3): 
-	$~~~\lambda^T\mathfrak{z} = \Min!$\\
-	$~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathcal{A}\mathfrak{z} = b$\\
-	$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathfrak{z} \ge 0$
-	}%
+	$\qquad\lambda^T\mathfrak{z} $&$= \Min!$\\
+	$\mathcal{A}\mathfrak{z} $&$= b$\\
+	$\mathfrak{z} $&$\ge 0$
+	\end{tabular}
 	}
   \end{center}
   $y$: \textit{Schlupfvariablenvektor}

lessons/20210628.tex

@@ -55,8 +55,8 @@ Ist $(V)$ erfüllt: ''$(P)$ ist in Karmarkar-Normalform'' gegeben.
 				\[\rbox{
 				\begin{tabular}{rl}
 					$p^k$ &$:= \left[ I - B_k^T \left( B_k B_k^T \right)^{-1} B_k \right]D_kc,$ \\
-					${\dr y^{k+1}}$ &$:= e - {\dg \alpha r}\frac{p^k}{||p^k||_2},$ \\
-					$x^{k+1}$ &$:= \frac{n}{(x^k)^T{\dr y^{k+1}}} D_k{\dr y^{k+1}},$
+					${\dr y^{k+1}}$ &$:= e - {\dg \alpha r}\dfrac{p^k}{||p^k||_2},$ \\
+					$x^{k+1}$ &$:= \dfrac{n}{(x^k)^T{\dr y^{k+1}}} D_k{\dr y^{k+1}},$
 				\end{tabular}
 				}\]
 				Setze ${\dr x^k := x^{k+1}}$ gehe zu $1^0$.
@@ -77,17 +77,17 @@ ist das Ausgangsproblem gegeben durch
 Definiert man die \textit{projektive Transformation}
 \[ T : \B^0 \rightarrow \B^0 \]
 durch 
-\[\rbox{$y = T(z) := \frac{n}{e^TD^{-1}z}D^{-1}z$} ~~~ (\sim) \]
+\[\rbox{$y = T(z) := \dfrac{n}{e^TD^{-1}z}D^{-1}z$} ~~~ (\sim) \]
 \[\Rightarrow {\dr T(x) = e} ~~~~ T(x) = \underbrace{\frac{n}{e^T\underbrace{D^{-1}x}_{=e}}}_{=n}\underbrace{D^{-1}x}_{=e} = \frac{n}{n}e \]
 d.h., die aktuelle Näherung $x$ wird in den Schwerpunkt $e$ von $\B^0$ abgebildet. $T : x \rightarrow e$ \\
 Ferner bildet $T~~\B^0$ \textit{eindeutig auf sich} ab. \\
 Die \textit{inverse Transformation} $T^{-1} : \B^0 \rightarrow \B^0$ ist durch
-\[\rbox{$z = T^{-1}(y) = \frac{n}{x^Ty}Dy$} ~~~~ {\com (\bullet)} \]
+\[\rbox{$z = T^{-1}(y) = \dfrac{n}{x^Ty}Dy$} ~~~~ {\com (\bullet)} \]
 gegeben. \\
 Schreibt man das Ausgangsproblem {\com $(P)$} in der transformierten Variablen $y$ (d.h., man ersetzt ${\dg z}$ durch ${\dg T^{-1}(y)}$), so erhält man das äquivalente \textit{lineare Quotienten-Optimierungsproblem: }
 \[{\com (P) : z \in Kern(A) \iff Az = 0}\]
-\[{\com (\cdot): A(\frac{n}{x^Ty}Dy) = 0 \leftrightarrow AD(y) = 0}\]
-\[ (\text{da }D = D^T) ~~ \rbox{$n\frac{(Dc)^Ty}{x^Ty} \rightarrow \underset{y \in Kern(AD) \cap \B^0}{\Min}.$} \]
+\[{\com (\cdot): A\left(\frac{n}{x^Ty}Dy\right) = 0 \leftrightarrow AD(y) = 0}\]
+\[ (\text{da }D = D^T) ~~ \rbox{$n\dfrac{(Dc)^Ty}{x^Ty} \rightarrow \underset{y \in Kern(AD) \cap \B^0}{\Min}.$} \]
 {\hspace*{10.8cm}\com $\uparrow (\sim ): e^Ty=n$}\\
 Wegen Voraussetzung $\Min(P) = 0$, ist dieses Problem wieder äquivalent zu 
 \[ (P_T) ~~~ \rbox{$(Dc)^Ty \rightarrow \underset{y \in Kern(AD) \cap \B^0}{\Min}.$} \]
\ No newline at end of file