12.07. formatted

Lineare_Optimierung_2021.tex

@@ -170,7 +170,7 @@
    
 {\dr \textit{Hinweise:
 \begin{itemize}
-\item Eventuell funktionieren die Links der Seitenverweise nicht (?) aber die ange-zeigten Kapitelnummern und Seiten sind korrekt.
+\item Eventuell funktionieren die Links der Seitenverweise nicht richtig (?) aber die angezeigten Kapitelnummern und Seiten sind korrekt.
 \item Die Nummerierung ist hier durchgängig, d.h. Nummern von Lemmata oder Sätzen stimmen nicht unbedingt mit dem Originalscript überein.\\
 (Große Überschriften hingegen sind gleich nummeriert.)
 \item {\dr\textsl{Die Scriptinhalte, insbesondere die Grafiken, sind visuell übernommen worden. Ihre Richtigkeit wird nicht garantiert.}}
@@ -189,7 +189,7 @@
 14.04.2021
 \end{flushright}
 \input{./lessons/20210414}
-
+\newpage
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 \begin{flushright}
 19.04.2021
@@ -231,7 +231,7 @@
 10.05.2021
 \end{flushright}
 \input{./lessons/20210510}
-
+\newpage
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 \begin{flushright}
 12.05.2021
@@ -267,7 +267,7 @@
 02.06.2021
 \end{flushright}
 \input{./lessons/20210602}
-
+\newpage
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 \begin{flushright}
 07.06.2021
@@ -291,7 +291,7 @@
 16.06.2021
 \end{flushright}
 \input{./lessons/20210616}
-
+\newpage
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 \begin{flushright}
 21.06.2021
@@ -303,7 +303,7 @@
 23.06.2021
 \end{flushright}
 \input{./lessons/20210623}
-
+\newpage
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 \begin{flushright}
 28.06.2021
@@ -321,7 +321,7 @@
 05.07.2021
 \end{flushright}
 \input{./lessons/20210705}
-
+\newpage
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 \begin{flushright}
 07.07.2021

README.md

 # Lineare Optimierung 2021
 
-Das in LaTeX gesetzte Vorlesungsscript zu Lineare Optimierung im Sommersemester 2021.
+Das in LaTeX gesetzte Vorlesungsscript zu 'Lineare Optimierung' im Sommersemester 2021.
 
-Wir bemühen uns, möglichst schnell das aktuelle Script einzubinden, aber dies kann auch mal ein bis zwei Tage dauern.
+Da die letzte Vorlesung des Semesters getecht wurde, ist das Vorlesungsscript bis auf ein paar '?' vollständig.
 
-Bei Anmerkungen oder Stellen, wo ihr wisst, was "?" bedeutet, könnt ihr gern ein Issue aufmachen und helfen das Script zu verbessern.
+Bis zum 02.08. kann es noch updates geben - falls noch jemand '?' entschlüsseln kann - danach ist dies eher unwahrscheinlich :D
+
+> Viel Erfolg an alle, die sich in Optimierung prüfen lassen :)

lessons/20210712.tex

 \textit{Beweis:} \\
-Abkürzung: $A := \begin{pmatrix} B & -d & d-Be \end{pmatrix} \in \R^{m+n}$. \\
+Abkürzung: $A := \overset{{\gr 2(n-1)~~~1~~~~~~1~~~~~~~}}{\begin{pmatrix} B & -d & d-Be \end{pmatrix}} \in \R^{m\times n}$. \\
 \begin{enumerate}
 	\item[\circled{1.}] \textit{zu zeigen:} 
 		\[ \begin{cases}
 			(P) \text{ in Karmarkar-Normalform:} \\
-			{\dr Rang(A) = m}, {\dr Ae = 0} \text{ und } {\dr \min(P) = 0}
+			{\dr Rang(A) = m}, {\dr Ae = 0} \text{ und } {\dr \Min(P) = 0}
 		\end{cases} \] 
 		\begin{itemize}
-			\item Leicht zu sehen: $Kern(B^T) = \{0\}$ \\
-				$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Rang(B) = m ~~~$ falls nicht $b_0 = 0$ und \\
-				$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~c_0 = 0$ \\
-				$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\uparrow$ durch Voraussetzung $(a)$ ausgeschlossen!
-				$\Rightarrow {\dr Rang(A) = Rang(B) = m.}$
+			\item Leicht zu sehen: $Kern(B^T) = \{0\}$ falls nicht $b_0 = 0$ und \\
+				$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+				Rang(B) = m
+				~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+				c_0 = 0$ \\
+				\hspace*{8.7cm}$\uparrow$\\
+				\hspace*{5.7cm}durch Voraussetzung $(V1)$ ausgeschlossen!\\
+				$\Rightarrow {\dr Rang(A) = Rang(B) = m.}~~{\com (\cdot)}$
 			\item Weiter ist 
-				\[ {\dr Ae} = Be + (-d) \cdot 1 + (d - Be) \cdot 1 {\dr = 0} \]
-				($e$ ist Vektor ''geigneter Länge'', dessen Kompon. alle $= 1$). \\
-				$\min(P)=0$ wird in \circled{$2.$} mit gezeigt!
+				\[ {\dr A\overset{{\gr ~\in \R^m}}{e}} = B\overset{{\gr ~\in \R^{2(m-1)}}}{e} + (-d) \cdot 1 + (d - B\overset{{\gr ~\in \R^{2(m-1)}}}{e}) \cdot 1 {\dr = 0}~~{\com (\cdot\cdot)} \]
+				{\db ($e$ ist Vektor ''geigneter Länge'', dessen Kompon. alle $= 1$). \\
+				$\min(P)=0$ wird in \circled{$2.$} mit gezeigt!}
 		\end{itemize}
 	\item[\circled{2.a}]
 		\begin{itemize}
-			\item Voraussetzung $(b) \Rightarrow (P_0)$ besitzt Lösung $u^* \in M_0$ \\
-				$\xRightarrow[Dual.satz]{starker}$ Das duale Problem $(D_0)$ besitzt Lösg. $v^* \in N_0$ nach
+			\item Voraussetzung $(V2) \Rightarrow (P_0)$ besitzt Lösung $u^* \in M_0$ \\
+				$\xRightarrow[Dual.satz]{starker}$ Das duale Problem $(D_0)$ besitzt Lösungen $v^* \in N_0$ und
 				\[ \rbox{$c_0^Tu^* = b_0^Tv^*$} \]
 				Definieren: 
-				\[ \rbox{$x^* := \frac{n}{e^Tw^*+1}\begin{pmatrix} w^*\\1\\0 \end{pmatrix}$} \text{ mit } w^* := \begin{pmatrix} u^* \\ A_0u^*-b_0 \\ v^* \\ c_0 - A_0^Tv^* \end{pmatrix}\]
-				$\Rightarrow Bw^* = d, w^* \ge 0 \qquad \text{(einsetzen) Def. von B})$ \\
-				$\Rightarrow x^*$ zulässig für $(P)$ mit Zielfunktionswert 0 ($\uparrow$ Zielfkt. in $(P) \ge 0$) \\
-				$\Rightarrow x^*$ Lösung von $(P), {\dr \min(P) = 0.}$
+				\[ \rbox{$x^* := \dfrac{n}{e^Tw^*+1}\begin{pmatrix} w^*\\1\\0 \end{pmatrix}$} \text{ mit } w^* := \begin{pmatrix} u^* \\ A_0u^*-b_0 \\ v^* \\ c_0 - A_0^Tv^* \end{pmatrix}\]
+				$\Rightarrow Bw^* = d, w^* \ge 0 \qquad \text{{\com(einsetzen) Def. von B}}$ \\
+				$\Rightarrow x^*$ zulässig für $(P)$ mit Zielfunktionswert 0 {\com($\uparrow$ Zielfkt. in $(P) \ge 0$)} \\
+				$\Rightarrow x^*$ Lösung von $(P),~ {\dr \min(P) = 0.}$
 		\end{itemize}
 	\item[\circled{2.b}] 
 		\begin{itemize}
-			\item Sei $x^{*T} = (p^{*T}, \alpha^*, \beta^*)$ Lösung von $(P)$ \\
-				$\xRightarrow[\min(P)=0]{} {\dr \beta^* = 0}$
-			\item \textit{Annahme:} $\alpha^* = 0 \xRightarrow[{\dr \text{Def. } \B}]{\beta^*,\alpha^*=0} Bp^* = 0, e^Tp^* = n, p^* \ge 0$ \\
-				$\Rightarrow$ \rbox{$Bp = 0, p \ge 0$} hätte die \\
-				${\gr \text{wegen } e^Tp^* = n \rightarrow}$ \textit{nichttriviale Lsg.} $p^*$. \\
+			\item Sei $x^{*T} = (p^{*T}, \alpha^*, \beta^*)$ Lösung von $(P)\xRightarrow[\min(P)=0]{} {\dr \beta^* = 0}$
+			\item \textit{Annahme:} $\alpha^* = 0 \xRightarrow[{\dr \text{Def. } \B}]{{\db\beta^*,\alpha^*=~0}} Bp^* = 0, e^Tp^* = n, p^* \ge 0$
+			
+				$~~~~~~~~~~~~~~~
+				\Rightarrow$ \rbox{$Bp = 0, p \ge 0$} hätte die \textit{nichttriviale Lösung} $p^*$.
+				\hspace*{7.3cm}{\com wegen $e^Tp^* = n \uparrow$}\\
 				Zerlegung von $p^* \in \R^{2(m-1)} = \R^{2(k+l)} = \R^{l+k+k+l}$ \\
-				durch $p^{*T} = (u^T, y^T, v^T, z^T)$. ${\gr (\ge 0)}$ \\
-				$\xRightarrow[\text{von } {\dr \B}]{{\dr \text{Definition}}}$\rbox{$A_0u-y = 0, A_0^Tv + z = 0, c_0^Tu-b_0^Tv = 0.$} \\
-				\textit{Wäre } $u \ne 0 \xRightarrow[{\dr \text{Lemma 2 Satz 0.1}}]{{\gr \downarrow A_0u = y \overset{\B}{\ge} 0}} c_0^Tu > 0$ \\
+				durch $p^{*T} = (u^T, y^T, v^T, z^T)$. ${\com (\ge 0)}$
+				\[\xRightarrow[\text{von } {\dr \B}]{{\dr \text{Definition}}} \rbox{$A_0u-y = 0, A_0^Tv + z = 0, c_0^Tu-b_0^Tv = 0.$}~~{\db (\diamond)}\]
+				\textit{Wäre} $u \ne 0 \xRightarrow[{\dr \text{Lemma 2 (?) Satz \ref{orig_satz_9_1}}}]{{\gr \downarrow A_0u = y \overset{\B}{\ge} 0}} c_0^Tu > 0$ \\
 				$\Rightarrow 0 < c_0^Tu = b_0^Tv \xRightarrow[A_0^Tv \le 0]{{\gr \text{Def. }\B (\cdot)}} \sup(D_0) = +\infty$ \\
 				$\Rightarrow$ \textit{Widerspruch} zur Lösbarkeit von $(D_0)$. \\
-				$\Rightarrow {\dr u = 0} \xRightarrow[{\dr A_0y = y}]{} {\dr y = 0}, b_0^Tv = c_0^Tu = 0. (\sim)$ \\
-				$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ (wegen $(?)$ und $u=0$)	
+				$\Rightarrow {\dr u = 0} \xRightarrow[{\gr A_0y = y}]{} {\dr y = 0}, b_0^Tv = c_0^Tu = 0. {\com(\sim)}$ \\
+				$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ {\com(wegen $(\diamond)$ und $u=0$)}	
 			\item zu zeigen bleibt: $v = 0$, \\
 				da sich dann auch $z = 0$ und insgesamt $p^* = 0$ ergibt. \\
-				\textit{Annahme:} $v \ne 0 \xRightarrow[\text{Voraussetzg. (c)}]{} 0 < v^T(\underbrace{A_0\overline{u}-b_0}_{>0}) = \underbrace{\overline{u}^TA_0^Tv}_{\le 0} - \underbrace{b_0^Tv}_{= 0 (\sim)} \le 0$  \\
+				\textit{Annahme:} $v \ne 0 \xRightarrow[\text{Voraussetzg. (V3)}]{} 0 < v^T(\underbrace{A_0\overline{u}-b_0}_{>0}) = \underbrace{\overline{u}^TA_0^Tv}_{\le 0} - \underbrace{b_0^Tv}_{= 0~{\gr(\sim)}} \le 0$  \\
 				$\Rightarrow$ Widerspruch! ${\gr \curvearrowright p^* = 0}$
 			\item Insgesamt ist die Annahme 
-				\[ {\db \alpha^* = 0} {\gr (\curvearrowright p^* \ne 0}) \]
+				\[ {\db \alpha^* = 0}~~{\gr (\curvearrowright p^* \ne 0)} \]
 				bzw.
 				\[ {\db \exists \text{ nichttriviale Lösung } p^* \text{ zu } Bp = 0, p \ge 0.} \]
 				zum Widerspruch geführt worden!
-			\item Rest der Behauptung trivial (ergibt sich aus schwachen Dualitätssatz). 
+			\item Rest der Behauptung trivial (ergibt sich aus schwachem Dualitätssatz). 
 		\end{itemize}
 \end{enumerate}
 Konvergenzbeweis $\uparrow$ Werner $S.135$ ''Numerische Mathematik 2''
\ No newline at end of file