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lessons/20210602.tex

@@ -56,7 +56,7 @@ Der Betrieb geht auf diesen Vorschlag nur ein, wenn
 \[\fcolorbox{dg}{white}{
 $\sum_{i = 1}^m a_{i{\dr j}}u_i \ge c_{\dr j}$
 } ~~~ ({\dr j} = 1, \dotso, n),\]
-d.h., wenn der gezahlte \textit{Preis} für sämtliche \textit{Hilsmittel} zur \textit{Produktion einer Einheit} des $j$\textit{-ten Produktes} {\dg \textit{nicht kleiner}} ist, als der \textit{Reingewinn} $c_j$, den der Betrieb erhalten hätte, wenn er die Produktion selbst durchführen würde. \\
+d.h., wenn der gezahlte \textit{Preis} für sämtliche \textit{Hilfsmittel} zur \textit{Produktion einer Einheit} des $j$\textit{-ten Produktes} {\dg \textit{nicht kleiner}} ist, als der \textit{Reingewinn} $c_j$, den der Betrieb erhalten hätte, wenn er die Produktion selbst durchführen würde. \\
 Der \textit{Konkurrent} hat also genau das \textit{duale Problem} zu lösen.
 \begin{itemize}
 	\item Interpretation des \textit{schwachen Dualitätssatzes:} \\

lessons/20210609.tex

@@ -85,8 +85,7 @@ $~{\dr \rightarrow}$
 
 $\overline{b}' = \widetilde{x}'$ Wert der $\widetilde{x}$ für $\widehat{x} = 0$, Ecke. \\
 (Das System {\gr\footnotesize (Berechnung der BV! $\rightarrow$)} $\widetilde{\overline{A}}~\overline{b}' = \overline{b}$ ist dreieckig) \\
-$\widetilde{\overline{A}}~\widehat{\overline{A}}' = \widehat{\overline{A}}~$ ist System für $\widehat{\overline{A}}'$. Die spalten von $\widehat{\overline{A}}'$ berechnen sich aus demselben System\\
-$~~~~~~~~~~~~~~~$wie $\overline{b}'$, wenn man $\overline{b}$ durch die Spalten von $\widehat{\overline{A}}$ ersetzt! \\
+$\widetilde{\overline{A}}~\widehat{\overline{A}}' = \widehat{\overline{A}}~$ ist System für $\widehat{\overline{A}}'$. Die Spalten von $\widehat{\overline{A}}'$ berechnen sich aus demselben System wie $\overline{b}'$, wenn man $\overline{b}$ durch die Spalten von $\widehat{\overline{A}}$ ersetzt! \\
 
 	\textit{Behauptung:}\\
 	Die Matrix ${\dr \widehat{\overline{A}}'}$ im kanonischen System enthält nur die Zahlen $0, 1, -1$\\

lessons/20210614.tex

 \subsection{Das Simplexverfahren beim Transportproblem}
 \begin{itemize}
 	\item Es sei eine \textit{Basis} (ein Eckpunkt) \textit{gegeben}. Die zugehörigen \textit{BV} werden durch \textit{Eintragung} ihrer Werte in eine $x_{ij}$\textit{-Tabelle} markiert, diese Tabelle sei dem ''magischen Rechteck'' nachgebildet.
-	\item Dazu wird eine ''\textit{gleichgroße}'' \textit{Tabelle} der $c_{ij}$ (gerändert mit den entsprechenden Simplexmultiplikatoren $u_1, \dotso, u_m \; v_1, \dotso, v_n$) erstellt, wobei die $c_{ij}$ aus der gegebenen Zielfunktion an die BV-Plätze angeschrieben werden. \\
+	\item Dazu wird eine ''\textit{gleichgroße}'' \textit{Tabelle} der $c_{ij}$ (gerändert mit den entsprechenden Simplexmultiplikatoren $u_1, \dotso, u_m, v_1, \dotso, v_n$) erstellt, wobei die $c_{ij}$ aus der gegebenen Zielfunktion an die BV-Plätze angeschrieben werden. \\
 		\begin{center}
 			% circles noch nicht rot
 			\begin{tabular}{ccccc|c||ccccc|c}
@@ -89,7 +89,7 @@
 	\end{itemize}
 	\item Tritt bei Basisvariablen der Wert 0 auf (er wird natürlich ebenso eingetragen), so liegt \textit{Entartung} vor. \\
 		Kreisen ist denkbar. \\
-		Man beweist\footnote{Dantzig, S.351, Lin. Progr. und Erweiterungen} dass der \textit{Entartungsfall} durch Störungsrechnung {\com ($\leftarrow$ Entartung)} zu beheben ist.
+		Man beweist\footnote{Dantzig, S.351, Lin. Progr. und Erweiterungen}, dass der \textit{Entartungsfall} durch Störungsrechnung {\com ($\leftarrow$ Entartung)} zu beheben ist.
 	\item Der Simplexalgorithmus führt stets zu einem \textit{endlichen Minimum}, denn der zulässige Bereich ist stets \textit{nichtleer} und \textit{beschränkt}: \\
 		Da $\sum a_i > 0, \sum b_j > 0 \Rightarrow \sum a_i = \sum b_j = p > 0$. 
 		\[ \fcolorbox{dr}{white}{

lessons/20210616.tex

 Die in der letzten Vorlesung dargestellten theoretischen Schritte zum Simplex-Algorithmus für Transportprobleme der Form 
 \begin{align*}
-	c^Tx \rightarrow &\min \\
+	c^Tx \rightarrow &\Min \\
 	\overline{A}x &= \overline{b} \\
 	x& \ge 0
 \end{align*}

lessons/20210621.tex

 \section{Spieltheorie (Matrixspiele)}
 \begin{itemize}
-	\item Gegeben sei eine \textit{Ausszahlungsmatrix}
+	\item Gegeben sei eine \textit{Auszahlungsmatrix}
 		\[ A = (a_{ij})~~~~{\com a_{ij} \text{ nicht negativ oder negativ (KEINE Beschränkung!)}}\]
 		\begin{multicols}{2}
 		$~$\\
@@ -50,8 +50,8 @@
 		klein wird. \\
 		Da 
 		\begin{align*}
-			\sum_{i,j} x_i^0y_ja_{ij} &= \sum_j y_j\sum_i a_{ij}x_i^0 \ge {\dg \underbrace{\sum y_j}_{=1}} \Min_{j}\sum_i x_i^0a_{ij} \\
-			&= \Min_j \sum_i x_i^0 a_{ij},
+			\sum_{i,j} x_i^0y_ja_{ij} &= \sum_j y_j\sum_i a_{ij}x_i^0 \ge {\dg \underbrace{\sum y_j}_{=1}} \mmin{j}\sum_i x_i^0a_{ij} \\
+			&= \mmin{j} \sum_i x_i^0 a_{ij},
 		\end{align*}
 		folgt
 		\[ \fcolorbox{dg}{white}{
@@ -60,8 +60,8 @@
 		\[\fcolorbox{dr}{white}{
 		$\sum x_i^0a_{ij(x^0)},$} \] 
 		folglich ist dieser Wert das
-		\[{\com (+)~ \Min_y\sum_{ij}a_{ij}x_i^0y_i = \Min_j\sum_i x_i^0a_{ij}}\] 
-		\[ \Min_y \sum_{ij}a_{ij}x_i^0y_i {\dr ~=~} \sum_i x_i^0a_{ij(x^0)} \]
+		\[{\com (+)~ \mmin{y}\sum_{ij}a_{ij}x_i^0y_i = \mmin{j}\sum_i x_i^0a_{ij}}\] 
+		\[ \mmin{y} \sum_{ij}a_{ij}x_i^0y_i {\dr ~=~} \sum_i x_i^0a_{ij(x^0)} \]
 		% (+) \Min_y\sum_{ij}a_{ij}x_i^0y_i = \Min_j\sum_ix_i^0a_{ij}
 		auf \textit{diesen} Wert kann $S$ die \textit{Auszahlung drücken.} 
 	\item $R$ muss also seine \textit{Strategie} $x$ so wählen, dass dieses \textit{Minimum möglichst groß} ist: